30度角所对直角边是斜边的一半有逆定理吗

Question

30度角所对直角边是斜边的一半有逆定理吗

Answer 1

【在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半逆命题】

【等于斜边长一半的直角边所对的角为30°】

设在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=1/2BC，求证：∠ACB=30°

【证法1】

延长BA到D，使AD=AB，连接CD。

∵∠BAC=90°，AB=AD，

∴AC垂直平分BD，

∴BC=CD（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），

∵AB=1/2BC，

  AB=AD=1/2BD

∴BD=BC，

∴BD=BC=CD，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠B=60°，

∴∠ACB=90°-∠B=30°。

【证法2】

取BC的中点D，连接AD。

∵∠BAC=90°，

∴AD=1/2BC=BD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），

∵AB=1/2BC，

∴AB=AD=BD，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠B=60°，

∴∠ACB=90°-∠B=30°。