已知三角形一边及该边对应角如何确定其周长范围

Question

已知三角形一边及该边对应角如何确定其周长范围

Answer 1

题中的应字需要去掉.
不失一般性,设△ABC中,A、a已知,则求（a＋b＋c）取值范围的方法如下：
在三角形中,两边之和大于第三边,∴b＋c＞a,∴a＋b＋c＞2a.
由余弦定理,有：b^2＋c^2－2bccosA＝a^2,∴（b＋c）^2－2bc（1＋cosA）＝a^2.······①
很显然,b、c都是正数,∴b＋c≧2√（bc）,∴（b＋c）^2≧4bc,
∴2bc≦（1/2）（b＋c）^2,
∴2bc（1＋cosA）≦（1/2）（b＋c）^2（1＋cosA）······②
①＋②,得：（b＋c）^2≦a^2＋（1/2）（b＋c）^2（1＋cosA）,
∴（b＋c）^2［1－（1/2）（1＋cosA）］≦a^2,∴（b＋c）^2（1－cosA）≦2a^2,
∴（b＋c）^2［sin（A/2）］^2≦a^2,∴（b＋c）sin（A/2）≦a,
∴b＋c≦a/sin（A/2）,∴a＋b＋c≦a＋a/sin（A/2）.
由a＋b＋c＞2a、a＋b＋c≦a＋a/sin（A/2）,得：2a＜a＋b＋c≦a＋a/sin（A/2）.
∴三角形周长的取值范围是（2a,a＋a/sin（A/2）］,其中a、A分别是已知的边及其对角.