设命题p：关于x的二次方程x2+（a+1）x+a-2=0的一个根大于零，另一根小于零；命题q：不等式2x2+x＞2+ax对∀x∈（-∞，-1）上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a

Question

设命题p：关于x的二次方程x²+（a+1）x+a-2=0的一个根大于零，另一根小于零；命题q：不等式2x²+x＞2+ax对∀x∈（-∞，-1）上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

对于命题P：令f（x）=x²+（a+1）x+a-2，
∵关于x的二次方程x²+（a+1）x+a-2=0的一个根大于零，另一根小于零，
∴f（0）＜0，即：a-2＜0，解得：命题p为真时a＜2；
对于命题q：∵x∈（-∞，-1），由不等式2x²+x＞2+ax可得：a＞2x−(2)/(x)+1，
令g(x)＝2x−(2)/(x)+1，由g（x）在（-∞，-1）上单调递增，故g（x）∈（-∞，1）．
又不等式2x²+x＞2+ax对∀x∈（-∞，-1）上恒成立，∴命题q为真时a≥1．
∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴P与q必然一真一假．
若p真q假，得a＜1；
若p假q真，得a≥2．
综上可得：a＜1或a≥2．