设有一质量为M，长为l的均匀杆AB，一质量为m的质点C位于杆AB的中垂线上，且与AB的距离为a．（1）求杆AB对质点C的引力．（2）当质点C在杆AB的中垂线上从C点移向无穷远处时，求克服引力所

Question

设有一质量为M，长为l的均匀杆AB，一质量为m的质点C位于杆AB的中垂线上，且与AB的距离为a．
（1）求杆AB对质点C的引力．
（2）当质点C在杆AB的中垂线上从C点移向无穷远处时，求克服引力所作的功．

Answer 1

（1）以杆AB为y轴，以AB的中点为原点，以质点C和原点的连线为x轴，建立直角坐标系
取y为积分变量，则y的变化区间为[−(l)/(2)，(l)/(2)]，在细杆AB上取一小段[y，y+dy]，近似地看成质点，
其质量为(Mdy)/(l)，与质点C相距为r＝√(a2+y2)，
因此由两质点的引力公式求出这小段细杆对质点C的引力△F的大小为
△F≈k(Mmdy)/((a2+y2)l)
∴得到△F在水平方向分力△F_x的近似值，即细杆对质点C的引力在水平方向的分力F_x的微元为
dFx＝−△F•(a)/(r)=−k(aMmdy)/(l(a2+y2)(3)/(2))
∴引力在水平方向的分力为
Fx＝−

∫	(l)/(2) −(l)/(2)

(kaMmdy)/(l(a2+y2)(3)/(2))=−(2kMm)/(a)•(1)/(√(4a2+l2))
由对称性知，引力在铅直方向上的分力为F_y=0
∴引力的大小为(2kMm)/(a√(4a2+l2))，方向与杆垂直，且由质点C指向杆．
（2）由（1）知，引力在铅直方向上的分力为F_y=0，方向与杆垂直，且由质点C指向杆．
∴当质点C在杆AB的中垂线上从C点移向无穷远处时，要求克服引力所作的功，只需求出x轴方向的功
且当质点在x=x（x＞a）处时，引力的大小为Fx＝(2kMm)/(x√(4x2+l2))，
取[x，x+dx]，当质点C从x移动到x+dx时，所做的功
dW=F_xdx=(2kMm)/(x√(4x2+l2))dx
W＝

∫

+∞ a

dW=

∫

+∞ a

(2kMm)/(x√(4x2+l2))dx（令t＝(l)/(x)）
=(2kMm)/(l)

∫	+∞ (l)/(a)

(dt)/(√(4+t2))
=(2kMm)/(l)ln(√(l2+4a2)+l)/(a)