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已知:如图在△ABC中,BD,CE为两条高线,F为BD上一点,G为CE延长线上一点,BF=AC,CG=AB.(1)请你判断△AFG的形状并证明.(2)当F为BD反向延长线上一点,G为CE反向延线上一点,其它条件不
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已知:如图在△ABC中,BD,CE为两条高线,F为BD上一点,G为CE延长线上一点,BF=AC,CG=AB.
(1)请你判断△AFG的形状并证明.
(2)当F为BD反向延长线上一点,G为CE反向延线上一点,其它条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?请你画出图形,并证明你的结论.
(1)请你判断△AFG的形状并证明.
(2)当F为BD反向延长线上一点,G为CE反向延线上一点,其它条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?请你画出图形,并证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
(1)△AFG为等腰直角三角形;
证明:∵BD、CE是△ABC的高,
∴∠ADB=∠AEC=90°,
∴∠ABF+∠BAD=90°,∠ACE+∠BAD=90°,
∴∠ABF=∠ACE,
在△ABF和△GCA中,
∴△ABF≌△GCA(SAS),
∴AF=AG,∠BAF=∠CGA,
∵∠CGA+∠GAE=90°,
∴∠BAF+∠GAE=90°,
即∠FAG=90°,
∴△AFG是等腰直角三角形;
(2)(1)中的结论成立;
证明:如图2所示:
由(1)得,∠ABF=∠ACE,
∴∠ABF=∠GCA,
在△ABF和△GCA中,
∴△ABF≌△GCA(SAS),
∴AF=AG,∠BAF=∠CGA,
∵∠ACE=∠CGA+∠CAG,∠ACE+∠EAC=90°,
∴∠BAF+∠CAG+∠EAC=90°,
即∠FAG=90°,
∴△AFG是等腰直角三角形.
证明:∵BD、CE是△ABC的高,
∴∠ADB=∠AEC=90°,
∴∠ABF+∠BAD=90°,∠ACE+∠BAD=90°,
∴∠ABF=∠ACE,
在△ABF和△GCA中,
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∴△ABF≌△GCA(SAS),
∴AF=AG,∠BAF=∠CGA,
∵∠CGA+∠GAE=90°,
∴∠BAF+∠GAE=90°,
即∠FAG=90°,
∴△AFG是等腰直角三角形;
(2)(1)中的结论成立;
证明:如图2所示:
由(1)得,∠ABF=∠ACE,
∴∠ABF=∠GCA,
在△ABF和△GCA中,
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∴△ABF≌△GCA(SAS),
∴AF=AG,∠BAF=∠CGA,
∵∠ACE=∠CGA+∠CAG,∠ACE+∠EAC=90°,
∴∠BAF+∠CAG+∠EAC=90°,
即∠FAG=90°,
∴△AFG是等腰直角三角形.
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