如图，△ABC是等边三角形，⊙O过点B，C，且与BA，CA的延长线分别交于点D，E，弦DF∥AC，EF的延长线交BC的延长线于点G．（1）求证：△BEF是等边三角形；（2）若BA=4，CG=2，求BF的长．

Question

如图，△ABC是等边三角形，⊙O过点B，C，且与BA，CA的延长线分别交于点D，E，弦DF∥AC，EF的延长线交BC的延长线于点G．
（1）求证：△BEF是等边三角形；
（2）若BA=4，CG=2，求BF的长．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCA=∠BAC=60°，
∵DF∥AC，
∴∠D=∠BAC=60°，∠BEF=∠D=60°
又∵∠BFE=∠BCA=60°，
∴△BEF是等边三角形．
（2）∵∠ABC=∠EBF=60°，
∴∠FBG=∠ABE，
又∠BFG=∠BAE=120°，
∴△BFG∽△BAE，
∴(BF)/(BA)＝(BG)/(BE)，
又BG=BC+CG=AB+CG=6，BE=BF，
∴BF²=AB•BG=24，
可得BF=2√(6)（舍去负值）．