设z1，z2是两个复数，已知z1=3-4i，|z2|=5，且z1?.z2为纯虚数．（Ⅰ）求z2；（Ⅱ）设复数z=x+yi（x，y∈R设z1，z2是两个复数，已知z1=3-4i，|z2|=5，且z1?.z2为纯虚数．（Ⅰ）求z2；（Ⅱ）设复数z=x+yi

Question

设z1，z2是两个复数，已知z1=3-4i，|z2|=5，且z1?.z2为纯虚数．（Ⅰ）求z2；（Ⅱ）设复数z=x+yi（x，y∈R
设z₁，z₂是两个复数，已知z₁=3-4i，|z₂|=5，且z1?

.

z2

为纯虚数．
（Ⅰ）求z₂；
（Ⅱ）设复数z=x+yi（x，y∈R）对应复平面上动点Z（x，y），求满足|z-z₂|=3的动点Z的轨迹及轨迹方程．

Answer 1

（Ⅰ）设z₂=a+bi（a，b∈R），则由|z₂|=5得a²+b²=25…（1）
∵z1?

.

z2

＝(3?4i)(a?bi)＝(3a?4b)?(3b+4a)i为纯虚数，
∴3a-4b=0…（2），
解（1）（2）得

a＝4

b＝3

或

a＝?4

b＝?3

，
∴z₂=4+3i或∴z₂=-4-3i．
（Ⅱ）当z₂=4+3i时由|z-z₂|=3得轨迹方程（x-4）²+（y-3）²=9，
∴动点的轨迹为以（4，3）为圆心，3为半径的圆；
当z₂=-4-3i，由|z-z₂|=3得轨迹方程（x+4）²+（y+3）²=9，动点的轨迹为以（-4，-3）为圆心，3为半径的圆．