设z是虚数，w=z+是实数，且-1＜w＜2.（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设u=，求证：u为纯虚数；（3）求w-u2的最小值.

Question

设 z 是虚数， w = z + 是实数，且-1＜ w ＜2.

（1）求| z |的值及 z 的实部的取值范围；

（2）设 u = ，求证： u 为纯虚数；

（3）求 w - u ² 的最小值.

Answer 1

（1）解:设 z = a + bi ( a 、 b ∈ R ，且 b ≠0），

则 w = z + = a + bi + =（ )+( ) i .

∵ w 是实数，∴ b - =0.

由 b ≠0，得 a ² + b ² =1 即| z |=1.

∵| z |=1 ∴ z · =| z | ² =1.∴ w = z + = z + =2 a .

由已知-1＜ w ＜2，即-1＜2 a ＜2，解得- ＜ a ＜1.

（2）证明： u + = + = + =0，

∵ z ≠1（否则 w =2矛盾），

∴ u ≠0.

从而 u 为纯虚数.

（3） u = = 

w - u ² =2 a -( ) ² =2 a -- 

=2 a - = 

=2(1+ a )+ -3.

∵- ＜ a ＜1 ∴ ＜1+ a ＜2.

∴4≤2(1+ a )+ ＜5.

∴ w - u ² 的最小值为4.