帮忙解释一下复变函数中“没有一个半平面包括无穷远点”这句话,太纠结了,数学复变函数

Question

帮忙解释一下复变函数中“没有一个半平面包括无穷远点”这句话,太纠结了,
数学复变函数

Answer 1

将复平面视为一个球面的一部分是有用的.给定一个单位半径球面,使复平面穿过其正中间,这样球的中心与复平面的原点 z=0 重合,球面上的赤道与平面的单位圆重合.我们可以将球面上的点与复平面建立如下一一对应.给定平面上一点,连接这一点与球面的北极之直线与球面恰好交于另一点.点 z=0 将投影到球面的南极.因为单位圆周的内部在球面内,整个区域（|z| < 1）将映到南半球.单位圆周自己（|z| = 1）映到赤道,而单位圆周的外部（|z| > 1）将映到北半球.显然这个过程是可逆的——给定任何球面上的不为北极的点,我们连接这一点与北极,与平面恰好交与一点.在这个球极平面投影中只北极这一点,不能对应到复平面上任何一点.我们将其变成一一对应,添加一个理想的点——所谓的无穷远点——到复平面上,使其与球面的北极对应.复平面添加一个无穷远点这个拓扑空间,称为扩充复平面.这就是数学家在讨论复分析时为什么说单个无穷远点.在实数轴上有两个无穷远点,但扩充复平面上只有一个（北极）无穷远点.想象一下球面上的经线和纬线投影到平面上会变成什么.平行于赤道的所有纬线,它们将变为以原点 z=0 为圆心的圆周；而经线将变为经过原点的直线（从而也经过无穷远点,因为它们在球面上同时经过北极和南极）.这不是从球面到平面惟一的球极平面投影.例如,球面的南极点可能置于平面的原点 z=0 之上,球面于平面在这一点相切.细节事实上并不重要,任何球面到平面的球极投影都将产生一个无穷远点,球面上的纬线与经线将分别映成平面上的圆周与直线.就是说明了一个很简单的问题,“半球面本身不能够包含投影”.