数学归纳法三道问题用数学归纳法证明:1.1/2x5（2乘5分之一)+1/5x8+1/8x11+...1/(3n-1)(3n+2)=n/2(3n+2)2.n属于大于或等于一的自然数9可以被4的n次方+15n-1整除3.n属于大于或等于一的自然数6

Question

数学归纳法三道问题
用数学归纳法证明:
1. 1/2x5 （2乘5分之一) + 1/5x8 + 1/8x11 + ... 1/(3n-1)(3n+2) = n/2(3n+2)
2. n属于大于或等于一的自然数 9可以被 4的n次方+15n-1 整除
3. n属于大于或等于一的自然数 6可以被 n的5次方+5n整除
就在这说吧..

Answer 1

1.证明：n=1时 显然成立
设n=m时成立,即1/2x5 + 1/5x8 + 1/8x11 + ... 1/(3m-1)(3m+2) = m/2(3m+2)成立
则 n=m+1时,有 1/2x5 + 1/5x8 + 1/8x11 + ... 1/(3m-1)(3m+2)+1/(3m+2)(3m+5)=m/2(3m+2)+1/(3m+2)(3m+5)= (m+1)/2(3m+5) 即n=m+1时也成立
根据数学归纳法,原等式成立
2.证明：n=1时,4^1+15-1=18 显然可以整除9 成立
设n=m时成立,即4^m+15m-1能整除9
则n=m+1时,有 4^(m+1)+15(m+1)-1=4*4^m+15m+14 = (4^m+15m-1)+3*4^m+15
显然前半部分能整除9,后半部分=3(4^m+5) 现在要证明4^m+5能整除3即可
同样用数学归纳法（这个很简单,略）可证4^m+5能整除3
所以在n=m+1时 也成立
则根据数学归纳法,原等式成立
3. 证明：n=1时,1^5+5*1=6 显然整除6
设n=m时成立,则m^5+5m能整除6
则n=m+1时,有 (m+1)^5+5m+5
根据二项式定理展开,1+5m+10m^2+10m^3+5m^4+m^5+5m+5 = (m^5+5m)+(5m^4+10m^3+10m^2+5m)+6
现在证5m^4+10m^3+10m^2+5m能整除6即可,因式分解后,得m(m+1)(m^2+m+1)能整除6即可
这里继续用数学归纳法证明即可
数学归纳法一般步骤：
1. 先证明n=1时的情况,很简单
2. 设n=m时成立,将m代入原式得一个等式
3. 将n=m+1代入原式左边,展开,化简,想办法往n=m的右边的形式靠,然后将n=m代入进去,再化简,最后得出n=m+1也成立
就可以根据数学归纳法,证明原式成立