用数学归纳法证明对於所有正整数p(n)都正碓!1+2+3+4+.+2^(n-1)=2^(2n-3)+2^(n-2)

Question

用数学归纳法证明对於所有正整数p(n)都正碓!
1+2+3+4+.+2^(n-1)=2^(2n-3)+2^(n-2)

Answer 1

（1）令n=1 有1=1成立
（2）假设n=k（k∈正整数）有1+2+…+2^k-1=2^(2k-3)+2^(k-2)
∴当n=k+1时 有
1+2+…+2^(k-1)+…2^k
=[1+2+…+2^(k-1)]+2^(k-1)*2^(k-1)+[1+2+…+2^(k-1)]
=[2^(2k-3)+2^(k-2)]*2+2^(2k-2)
=2^(2k-2)+2^(k-1)+2^(2k-2)
=2^[2(k+1)-3]+2^[(k+1)-2]
综上得对所有……都成立