已知数列{an}满足递推关系式an=2an-1+1，（n≥2）其中a1=1．（1）求数列{an}的通项公式（2）求数列{an}的前n项和Sn．

Question

已知数列{a_n}满足递推关系式a_n=2a_n-1+1，（n≥2）其中a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）由a_n=2a_n-1+1可得a_n+1=2（a_n-1+1），a₁+1=2
∴数列{a_n+1}是以2为首项以2为公比的等比数列
∴an+1＝2n
∴an＝2n−1
（2）由an＝2n−1
∴Sn＝(2−1)+(22−1)+…+(2n−1)
=（2+2²+…+2ⁿ）-n
=(2(1−2n))/(1−2)−n=2ⁿ⁺¹-2-n