如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，将△ABC绕C点旋转一个角度到△DEC，直线AD、EB交于F点，在旋转过程中，△ABF的面积的最大值是．

Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，将△ABC绕C点旋转一个角度到△DEC，直线AD、EB交于F点，在旋转过程中，△ABF的面积的最大值是___．

Answer 1

∵△DEC是由△ABC绕C点旋转得到，
∴CE=CB，CD=CA，∠BCE=∠ACD，
设∠BCE=∠ACD=α，
∴∠CBE=∠CEB=∠CAD=∠CDA=90°-(1)/(2)α，
∴在四边形BCDP中，∠BPA=360°-90°-α-2（90°-(1)/(2)α）=90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，
∴AF²+BF²=AB²=20，
∵AF²+BF²≥2AF•BF，
∴AF•BF≤(AF2+BF2)/(2)=10，
∴S_△ABF=(1)/(2)AF•BF≤5，即△ABF的面积的最大值是5，
故答案为：5．