（2013•牡丹江）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，tan∠ACO=33，（1）求B、C两点的坐标；（2）把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求直线DE的解析式；（3）

Question

（2013•牡丹江）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，tan∠ACO=(√(3))/(3)，
（1）求B、C两点的坐标；
（2）把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求直线DE的解析式；
（3）若点M在直线DE上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）在直角△OAC中，tan∠ACO=(OA)/(OC)=(√(3))/(3)，
∴设OA=√(3)x，则OC=3x，
根据勾股定理得：（3x）²+（√(3)x）²=AC²，
即9x²+3x²=144，
解得：x=2√(3)．
故C的坐标是：（6√(3)，0），B的坐标是（6√(3)，6）；

（2）直线AC的斜率是：-(6)/(6√(3))=-(√(3))/(3)，
则直线DE的斜率是：√(3)．
F是AC的中点，则F的坐标是（3√(3)，3），设直线DE的解析式是y=√(3)x+b，
则9+b=3，解得：b=-6，
则直线DE的解析式是：y=√(3)x-6；

（3）OF=(1)/(2)AC=6，
∵直线DE的斜率是：√(3)．
∴DE与x轴夹角是60°，
当FM是菱形的边时（如图1），ON∥FM，
则∠NOC=60°或120°．
当∠NOC=60°时，过N作NG⊥y轴，则NG=ON•sin30°=6×(1)/(2)=3，
OG=ON•cos30°=6×(√(3))/(2)=3√(3)，则N的坐标是（3，3√(3)）；
当∠NOC=120°时，与当∠NOC=60°时关于原点对称，则坐标是（-3，-3√(3)）；
当OF是对角线时（如图2），MN关于OF对称．
∵F的坐标是（3√(3)，3），
∴∠FOD=∠NOF=30°，
在直角△ONH中，OH=(1)/(2)OF=3，ON=(OH)/(cos∠NOH)=(3)/((√(3))/(2))=2√(3)．
作NL⊥y轴于点L．
在直角△ONL中，∠NOL=30°，
则NL=(1)/(2)ON=√(3)，
OL=ON•cos30°=2√(3)×(√(3))/(2)=3．
故N的坐标是（√(3)，3）．
当DE与y轴的交点时M，这个时候N在第四象限，
此时点的坐标为：（3√(3)，-3）．
则N的坐标是：（3√(3)，-3）或（3，3√(3)）或（-3，-3√(3)）或（√(3)，3）．