已知三角形ABC的三边a.b.c的倒数成等差数列,试分别用综合法与分析法证明角B为锐角

Question

已知三角形ABC的三边a.b.c的倒数成等差数列,试分别用综合法与分析法证明角B为锐角

Answer 1

【注：只想到了一种方法】【1】由题设可知：1/a,1/b,1/c成等差数列,∴2/b=(1/a)+(1/c).===>2/b=(a+c)/(ac).====>(a+c)b=2ac.结合基本不等式可知：a+c≥2√(ac).∴2ac=(a+c)b≥2b√(ac).===>√(ac)≥b.===>ac≥b².====>a²+c²≥2ac＞ac≥b².===>a²+c²-b²＞0.【2】在⊿ABC中,由余弦定理可得：cosB=(a²+c²-b²)/(2ac).由2ac＞0及前面的a²+c²-b²＞0可知,cosB＞0.再结合0＜B＜π.可知,∠B为锐角.