一道中心对称与轴对称合并的题目定义R在上函数f(x)关于(a,c)成中心对称,关于x=b(b>a)成轴对称,证明是以4b-4a为周期的函数

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一道中心对称与轴对称合并的题目
定义R在上函数f(x)关于(a,c)成中心对称,关于x=b(b>a)成轴对称,证明是以4b-4a为周期的函数

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答案和解析

对称中心的横坐标间隔为半个周期,即T/2.
对称轴与对称中心的横坐标间隔为T/4周期. ?怎么来的?
证明:函数f(x)关于(a,c)成中心对称等价于f(x)+f(2a-x)=2c①
f(x)关于x=b(b>a)成轴对称等价于f(x)=f(2b-x)②
由②,用2a-x替换x得f(2a-x)=f(2b-2a+x)再代入①得
f(x)+f(2b-2a+x)=2c③
③中用2b-2a+x代替x得
f(2b-2a+x)+f(4b-4a+x)=2c④
③-④得:f(x)-f(4b-4a+x)=0
即f(x)=f(4b-4a+x)
所以T=4(b-a)>0是f(x)的一个周期
证毕!

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