已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若时，关于的方程有唯一解，求的值；（3）当时，证明:对一切，都有成立．

Question

已知函数
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 时，关于 的方程 有唯一解，求 的值；
（3）当 时，证明: 对一切 ，都有 成立．

Answer 1

已知函数
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 时，关于 的方程 有唯一解，求 的值；
（3）当 时，证明: 对一切 ，都有 成立．

（1）当k是奇数时， f(x)在(0,+ )上是增函数;     
当k是偶数时，f (x)在 上是减函数，在 上是增函数．
（2）
（3）当 时， 问题等价于证明
由导数可求 的最小值是 ，当且仅当 时取到，
设 ，利用导数求解。

试题分析：（1）由已知得x＞0且 ．
当k是奇数时， ，则f(x)在(0,+ )上是增函数;     
当k是偶数时，则 ．　  
所以当x 时， ，当x 时， ．
故当k是偶数时，f (x)在 上是减函数，在 上是增函数．…………4分
（2）若 ，则 ．
记   ,
若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；   令 ,得 ．因为 ，所以 （舍去）， ． 当 时， ， 在 是单调递减函数；
当 时， ， 在 上是单调递增函数．
当x=x ₂ 时, ， ．   因为 有唯一解，所以 ．
则  即

作业帮用户 2017-10-16

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