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已知函数(1)讨论函数的单调性;(2)若时,关于的方程有唯一解,求的值;(3)当时,证明:对一切,都有成立.

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已知函数
(1)讨论函数 的单调性;
(2)若 时,关于 的方程 有唯一解,求 的值;
(3)当 时,证明: 对一切 ,都有 成立.
▼优质解答
答案和解析
已知函数
(1)讨论函数 的单调性;
(2)若 时,关于 的方程 有唯一解,求 的值;
(3)当 时,证明: 对一切 ,都有 成立.
(1)当k是奇数时, f(x)在(0,+ )上是增函数;     
当k是偶数时,f (x)在 上是减函数,在 上是增函数.
(2)
(3)当 时, 问题等价于证明
由导数可求 的最小值是 ,当且仅当 时取到,
,利用导数求解。


试题分析:(1)由已知得x>0且
当k是奇数时, ,则f(x)在(0,+ )上是增函数;     
当k是偶数时,则 .   
所以当x 时, ,当x 时,
故当k是偶数时,f (x)在 上是减函数,在 上是增函数.…………4分
(2)若 ,则
  ,
若方程f(x)=2ax有唯一解,即g(x)=0有唯一解;   令 ,得 .因为 ,所以 (舍去), . 当 时, 是单调递减函数;
时, 上是单调递增函数.
当x=x 2 时, .   因为 有唯一解,所以
 即
作业帮用户 2017-10-16
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