(本小题12分)已知函数(1)判断函数在上的单调性;(2)是否存在实数,使曲线在点处的切线与轴垂直?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

Question

(本小题12分)
已知 函数
(1)判断函数 在 上的单调性;
(2)是否存在实数 ,使曲线 在点 处的切线与 轴垂直?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

(1)见解析；(2) 不存在

(1)先求出 ，然后再分 和 三种情况研究其在区间 上的单调性.
(2)本小题所给条件曲线 在点 处的切线与 轴垂直实质是研究方程 有实数解.然后利用导数研其单调性和最值，画出图像从图像上可分析判断是否有实数解.
解;
①若 则 , 在 上单调递增
②若 ,当 时, 函数 在区间 上单调递减,
当 时, 函数 在区间 上单调递增
③若 ,则 函数 在区间 上单调递减.
(2) ,由(1)易知,当 时, 在 上的最小值:
即 时, 又 ,
曲线 在点 处的切线与 轴垂直等价于方程 有实数解.
而 ,即方程 无实数解,故不存在.