（2014•佛山二模）已知函数f（x）=alnx-1x，（其中a∈R）（1）设h（x）=f（x）+x，讨论h（x）的单调性．（2）若函数f（x）有唯一的零点，求a取值范围．

Question

（2014•佛山二模）已知函数f（x）=alnx-(1)/(x)，（其中a∈R）
（1）设h（x）=f（x）+x，讨论h（x）的单调性．
（2）若函数f（x）有唯一的零点，求a取值范围．

Answer 1

（1）h（x）=alnx-(1)/(x)+x，定义域为（0，+∞），----------1分
h′（x）=(a)/(x)+(1)/(x2)+1=(x2+ax+1)/(x2)--------------------------------2分
令g（x）=x²+ax+1，判别式△=a²-4，
当△≤0即-2≤a≤2时，g（x）≥0，h′（x）≥0，此时h（x）在（0，+∞）上单调递增；-----4分
当△＞0即a＜-2或a＞2时，由g（x）=0得x₁=(−a−√(a2−4))/(2)，x₂=(−a+√(a2−4))/(2)，------------5分
若a＞2，则x₁＜0，又x₁x₂=1＞0，所以x₂＜0，故h′（x）＞0在（0，+∞）恒成立．
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增；--------------------------------6分
若a＜-2，则x₂＞0，又x₁x₂=1＞0所以x₁＞0，此时，当x∈（0，x₁）时，h′（x）＞0，
当x∈（x₁，x₂）时，h′（x）＜0，当x∈（x₂，+∞）时，h′（x）＞0，
故h（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减；--------------7分
综上所述，当a≥-2时，h（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜-2时，h（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减；--------------8分
（2）f′（x）=(a)/(x)+(1)/(x2)=(ax+1)/(x2)（x＞0），
当a=0时，f（x）=-(1)/(x)=0无实数根，此时函数f（x）无零点；-----------------------------------9分
当a＞0时，f′（x）＞0，f（1）=-1＜0，而f（e(1)/(a)）=1-e−(1)/(a)＞0，
根据零点的存在性定理，f（x）在（0，+∞）上只有唯一的零点，------------------------------11分
当a＜0时，x∈（0，-(1)/(a)）时，f′（x）＞0，x∈（-

作业帮用户 2017-10-05

问题解析

（1）由h′（x）=

(1)/(a)(a)/(x)+(1)/(x2)+1=(x2+ax+1)/(x2)，利用单调性与导数值的关系，通过讨论a的值得出函数的单调性；
（2）利用根的存在性定理判断函数的零点以及利用导数判断函数的单调性及最值，通过分类讨论求出字母的取值范围．

名师点评

本题考点：

利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．

考点点评：

本题考查了函数导数与单调性、极值、最值、函数零点等基础知识，考查函数与方程的思想，数形结合思想，转化与化归思想以及考生的推理论证能力．

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