已知函数f(x)=x^2－2ax＋5(a＞1）若f(x）在区间（负无穷,2]上是减函数,对任意的x₁,x₂∈[1,1＋a],总有|f(x₁）－f（x₂）|≤4,求实数a的取值范围

Question

已知函数f(x)=x^2－2ax＋5(a＞1）
若f(x）在区间（负无穷,2]上是减函数,对任意的x₁,x₂∈[1,1＋a],总有|f(x₁）－f（x₂）|≤4,求实数a的取值范围

Answer 1

这题其实很简单.
f(x)=x²-2ax+5,对称轴x0=a
因为f(x）在区间（负无穷,2]上是减函数,得x0≥2,即a≥2
于是1＜a＜a+1,即区间[1,1+a]包含对称轴
f（1）=6-2a,f（a+1）=6-a²,f（x0）=f（a）=5-a²
f(1)-f(a+1)=a²-2a=a(a-2)≥0,于是f（x）在[1,a+1]内最大值为f（1）=6-2a
f（x）在[1,a+1]内最小值为f(x0)=f(a)=5-a²
由题意知f（1）-f（a）≤4
得1-≤a≤3
综上得2≤a≤3