若函数f（x）在定义域D内的某个区间I上是增函数，且F（x）=f(x)x在I上也是增函数，则称y=f（x）是I上的“完美增函数”．已知f（x）=ex+x，g（x）=lnx-1．（1）判断函数f（x）是否为区间（0，+

Question

若函数f（x）在定义域D内的某个区间I上是增函数，且F（x）=(f(x))/(x)在I上也是增函数，则称y=f（x）是I上的“完美增函数”．已知f（x）=e^x+x，g（x）=lnx-1．
（1）判断函数f（x）是否为区间（0，+∞）上的“完美增函数”；
（2）若函数g（x）是区（0，m]上的“完美增函数”，求整数m的最大值．

Answer 1

（1）∵f（x）=e^x+x，∴f′（x）=e^x+1>0，
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
又∵F（x）=(f(x))/(x)=(ex)/(x)+1，
∴F′（x）=(ex(x-1))/(x2)≥0在区间（0，+∞）上不恒成立，
∴F（x）在区间（0，+∞）上不一定是增函数，
∴函数f（x）不是区间（0，+∞）上的“完美增函数”；
（2）函数g（x）=lnx-1在区间（0，+∞）是单调增函数，
设G（x）=(g(x))/(x)=(lnx-1)/(x)，
∴G′（x）=(2-lnx)/(x2)，x>0，
令G′（x）=0，解得lnx=2，即x=e²；
∴当0<x≤e²时，G′（x）≥0，函数G（x）单调递增；
当x>e²时，G′（x）<0，函数G（x）单调递减；
∴当x∈（0，e²]时，g（x）与G（x）都为单调递增函数，是“完美函数”；
即函数g（x）是区（0，m]上的“完美增函数”时，整数m的最大值为[e²]=7．