设常数a使方程sinx-3cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=11π311π3．

Question

设常数a使方程sinx-√(3)cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x₁，x₂，x₃，则x₁+x₂+x₃=

(11π)/(3)

(11π)/(3)

．

Answer 1

sinx-√(3)cosx=2（(1)/(2)sinx-(√(3))/(2)cosx）=2sin（x-(π)/(3)）=a，
如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=-√(3)时，直线与三角函数图象恰有三个交点，
令sin（x-(π)/(3)）=-(√(3))/(2)，
此时有x₁=0，x₂=(5π)/(3)，x₃=2π，
所以x₁+x₂+x₃=0+(5π)/(3)+2π=(11π)/(3)，
故答案为：(11π)/(3)．