可积的充分条件：1.f(x)在闭区间[a,b]上连续2.f(x)在[a,b]上有界,且只有有限个间断点3.f(x)在[a,b]上单调请问第三个条件跟第一个条件,跟第二个条件有什么不同?最好举出实例.您说的被积函数必

Question

可积的充分条件：1.f(x)在闭区间[a,b]上连续
2.f(x)在[a,b]上有界,且只有有限个间断点
3.f(x)在[a,b]上单调
请问第三个条件跟第一个条件,跟第二个条件有什么不同?最好举出实例.
您说的被积函数必有界是针对定积分来说的吧，有界是针对无穷说的？

Answer 1

此三者为并列条件,任何一个都是函数可积的充分条件.
1,函数的可积性是针对于定积分提出来的,跟不定积分和广义积分没啥关系.
2,所有的充分条件中都要求“闭区间”这个最重要的条件.
3,关于第二个充分条件的讨论：有界且有有限个间断点则说明间断点的类型包括第一类间断点（可去间断点和跳跃间断点）,第二类间断点中的震荡间断点而不包括无穷间断点,因为无穷间断点使得函数在闭区间内无界.进一步来思考：一般定积分我们用牛-莱公式计算,而第一类间断点使得积分不存在原函数,所以应该用分段积分法计算.第二类间断点,震荡间断点比如说SIN(1/X）的积分虽然可积,但积分如何计算至今还没碰见这类问题,需查积分表,这也超出了我们的考察范围!无穷间断点不可积,但可以用广义积分判断其敛散性,若其他情况,只要能判断其原函数存在,用牛-莱公式即可!
4,关于可积充分条件的第三个条件：函数的单调性是对于连续函数说的,若有间断点,就无所谓单调性了,所以教材上并未列出这个条件,估计是二李想用“闭区间上单调函数必有界”来说的.无所谓了.由此可见,教材才是最严密的,绝不废话,千锤百炼啊!
可积的必要条件：被积函数在闭区间上有界；
讨论:反证法----若被积函数无界,则积分趋于无穷,肯定不可积了!
总之一句话：可积性是对于定积分的概念,其结果必须是一个确定的值,而不是收敛和发散的问题!
定积分的计算多数要用到原函数：
原函数存在的充分条件：连续函数一定有原函数
但是原函数存在并不能说函数就一定连续,因为存在第二类间断点的函数也可能有原函数,需具体判断!
一个含有震荡间断点的函数例子：f(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x)
这个函数在整个区间上都是可积的（有界,可数个震荡型间断点,故可积）.
原函数F(x)为连续的分段函数：F(x)=x^2*sin（1/x）,当x不等于0；F(x)=0,当x=0.
原函数明显是个奇函数,故在整个定义区间内积分为0.
所以：含有震荡间断点的函数仍有可能可积.
ps,久了,我也忘了,上网查询复习了一遍.