设f（x）在闭区间[0，1]上可微，满足条件f（1）=2∫120xf(x)dx，试证：存在ξ∈（0，1），使得f（ξ）+ξf′（ξ）=0．

Question

设f（x）在闭区间[0，1]上可微，满足条件f（1）=2

∫

(1)/(2) 0

xf(x)dx，试证：存在ξ∈（0，1），使得f（ξ）+ξf′（ξ）=0．

Answer 1

设 F（x）=xf（x）．
由积分中值定理可得，存在 η∈（0，(1)/(2)），使得

∫

(1)/(2) 0

xf(x)dx=

∫

(1)/(2) 0

F(x)dx=(1)/(2)F(η)．
由已知条件 f（1）=2

∫

(1)/(2) 0

xf(x)dx 可得，F（η）=f（1）=F（1）．
在区间[η，1]上利用罗尔定理可得，ξ∈（0，1），使得 F′（ξ）=0，
即：f（ξ）+ξf′（ξ）=0