给出如下四个命题：①回归直线方程必过点；②幂函数y=（m2-m-1）x1-m在R上是减函数；③“a，b∈[0，1]”是“函数有两相异极值点的概率为”的充要条件；④命题“?x∈[1，2]，x

Question

给出如下四个命题：①回归直线方程 必过点 ；②幂函数y=（m ² -m-1）x ^1-m 在R上是减函数；③“a，b∈[0，1]”是“函数 有两相异极值点的概率为 ”的充要条件；④命题“?x∈[1，2]，x ² -1≥0”的否定为“?x∈[1，2]，x ² -1＜0”．其中正确命题的个数是（ ）
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④

Answer 1

分析：
第①个命题说明回归直线通过样本中心点．②：由幂函数的概念判断出m2-m-1等于1；列出等式求出m，再根据象关于y轴对称验证其指数为偶数．再判断其单调性；③：先利用导数求出函数在R上有两个相异极值点的充要条件，得出关于a，b的约束条件，在a-o-b坐标系中画出可行域，再利用几何概型求出两者的面积比即可．④：特称命题“?x∈[1，2]，x2-1≥0”的否定是：把?改为?，其它条件不变，然后否定结论，变为一个特称命题．即“?x∈[1，2]，x2-1＜0”．

对于①，已知n个散点Ai（xi，yi），（i=1，2，3，…，n）的线性回归方程为，若，（其中，），则此回归直线必经过点（），这说明回归直线一定经过样本中心点，故正确．对于②：∵幂函数f（x）=（m2-m-1）x1-m∴m2-m-1=1?m=-1或m=2当m=2时，幂函数f（x）=（m2-m-1）x1-m=x-1，它不在R上是减函数，故错；③：易得f′（x）=ax2-2bx+a，对于函数在R上有两个相异极值点的充要条件：是a≠0且其导函数的判别式大于0，即a≠0且4b2-4a2＞0，又若a，b在区间[0，1]上取值，则b＞a，点（a，b）满足的区域如图中阴影部分所示，其中正方形区域的面积为1，阴影部分的面积为 ，但反之不能成立，因为当a，b在区间[1，2]上取值时，也得到有两相异极值点的概率为”．故错．对于④，全称命题“?x∈[1，2]，x2-1≥0”的否定是特称命题：“?x∈[1，2]，x2-1＜0”．故正确．故选C．
点评：
本小题主要考查函数单调性的应用、命题的否定、线性回归方程、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．