有限集合S中所有的元素的乘积称为数集S的“积数”，若集合M={12，13，14…，199，1100}．（1）试求M的所有子集的“积数”之和；（2）试求M的所有偶数个元素的子集的“积数”之和．

Question

有限集合S中所有的元素的乘积称为数集S的“积数”，若集合M={(1)/(2)，(1)/(3)，(1)/(4)…，(1)/(99)，(1)/(100)}．
（1）试求M的所有子集的“积数”之和；
（2）试求M的所有偶数个元素的子集的“积数”之和．

Answer 1

（1）令f（x）=（x+(1)/(2)）（x+(1)/(3)）（x+(1)/(4)）…（x+(1)/(99)）（x+(1)/(100)），
则集合M={(1)/(2)，(1)/(3)，(1)/(4)…，(1)/(99)，(1)/(100)}所有子集的“积数”之和即f（x）展开式中所有项数之和T-1，
令x=1，则T=(3)/(2)•(4)/(3)•(5)/(4)•…•(100)/(99)•(101)/(100)=(101)/(2)，
∵(101)/(2)-1=(99)/(2)，
∴M的所有子集的“积数”之和为(99)/(2)，
（2）M的所有偶数个元素的子集的“积数”之和，
即f（x）展开式中所有偶次项数之和S，
令x=1，则T=（-(1)/(2)）•（-(2)/(3)）•（-(3)/(4)）•…•（-(98)/(99)）•（-(99)/(100)）=-(1)/(100)，
由((101)/(2)-(1)/(100))/(2)=(5049)/(200)得；
M的所有偶数个元素的子集的“积数”之和为(5049)/(200)．