（2014•绵阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（-2，3），顶点坐标为N（-1，433），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的动点

Question

（2014•绵阳）如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点M（-2，√(3)），顶点坐标为N（-1，(4√(3))/(3)），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由抛物线顶点坐标为N（-1，(4√(3))/(3)），可设其解析式为y=a（x+1）²+(4√(3))/(3)，
将M（-2，√(3)）代入，得√(3)=a（-2+1）²+(4√(3))/(3)，
解得a=-(√(3))/(3)，
故所求抛物线的解析式为y=-(√(3))/(3)x²-(2√(3))/(3)x+√(3)；

（2）∵y=-(√(3))/(3)x²-(2√(3))/(3)x+√(3)，
∴x=0时，y=√(3)，
∴C（0，√(3)）．
y=0时，-(√(3))/(3)x²-(2√(3))/(3)x+√(3)=0，
解得x=1或x=-3，
∴A（1，0），B（-3，0），
∴BC=√(OB2+OC2)=2√(3)．
设P（-1，m），
当CP=CB时，有CP=√(1+(m−√(3))2)=2√(3)，解得m=√(3)±√(11)；
当BP=BC时，有BP=√((−1+3)2+m2)=2√(3)，解得m=±2√(2)；
当PB=PC时，√((−1+3)2+m2)=√(1+(m−√(3))2)，解得m=0，
综上，当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标为（-1，√(3)+√(11)），（-1，√(3)-√(11)），（-1，2√(2)），（-1，-2√(2)），（-1，0）；

（3）由（2）知BC=2√(3)，AC=2，AB=4，
所以BC²+AC²=AB²，即BC⊥AC．
连结BC并延长至B′，使B′C=BC，连结B′M，交直线AC于点Q，
∵B、B′关于直线AC对称，
∴QB=QB′，
∴QB+QM=QB′+QM=MB′，
所以此时△QBM的周长最小．
由B（-3，0），C（0，√(3)），易得B′（3，2√(3)）．
设直线MB′的解析式为y=kx+n，
将M（-2，√(3)），B′（3，2√(3)）代入，
得

−2k+n＝√(3)

3k+n＝2√(3)

，解得

k＝(√(3))/(5)

n＝(7√(3))/(5)

，
即直线MB′的解析式为y=(√(3))/(5)x+(7√(3))/(5)．
同理可求得直线AC的解析式为y=-√(3)x+√(3)．
由

y＝(√(3))/(5)x+(7√(3))/(5)

y＝−√(3)x+√(3)

，解得

x＝−(1)/(3)

y＝(4√(3))/(3)

，即Q（-(1)/(3)，(4√(3))/(3)）．
所以在直线AC上存在一点Q（-(1)/(3)，(4√(3))/(3)），使△QBM的周长最小．