在平面直角坐标系中，点B的坐标为（2，0），过点B作AB⊥x轴，交y=mx（m＞0）的图象于点A，点P为y轴正半轴上动点，点P的纵坐标为n，以PA、PB为边作▱APBC．（1）当m2＞n时，求点C的纵坐标（用

Question

在平面直角坐标系中，点B的坐标为（2，0），过点B作AB⊥x轴，交y=(m)/(x)（m＞0）的图象于点A，点P为y轴正半轴上动点，点P的纵坐标为n，以PA、PB为边作▱APBC．
（1）当(m)/(2)＞n时，求点C的纵坐标（用含m、n的代数式表示）；
（2）当n=3时，若点C恰好落在x轴上，求m的值；
（3）当点P运动时，是否存在一个内角为60°的菱形APBC？若存在，求出所有满足条件的m、n的值，并判断点C是否在y=(m)/(x)（m＞0）的图象上；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）过点P作PD⊥AB于D，过点C作CE⊥AB于E，如图1．

则有∠ADP=∠BEC=90°，∠POB=∠OBD=∠PDB=90°，
∴四边形OPDB是矩形，
∴OP=BD，OB=PD．
∵四边形APBC是平行四边形，
∴AP=BC，AP∥BC，
∴∠PAB=∠CBA．
在△ADP和△BEC中，

∠PAB＝∠CBA

∠ADP＝∠BEC

AP＝BC

，
∴△ADP≌△BEC，
∴AD=BE．
∵点A在函数y=(m)/(x)图象上，x_A=x_B=2，
∴y_A=(m)/(2)即AB=(m)/(2)，
∴BE=AD=AB-BD=AB-OP=(m)/(2)-n，
∴点C的纵坐标为(m)/(2)-n．

（2）当点C恰好落在x轴上时，如图2．

∵四边形APBC是平行四边形，
∴AP∥BC，
∴AB=OP=3，
∴点A的坐标为（2，3）．
∵点A在函数y=(m)/(x)图象上，
∴m=2×3=6．
∴m的值为6．

（3）连接PC交AB于点H．
①若∠APB=60°，如图3．

∵四边形APBC是菱形，
∴PH=CH，BH=AH，AB⊥PC，PA=PB，
∴△PAB是等边三角形，
∴PB=AB=2BH，
∴PH=√(PB2−BH2)=√(3)BH．
∵PH=OB=2，
∴√(3)BH=2，
∴BH=

2

作业帮用户 2017-11-04

问题解析

（1）过点P作PD⊥AB于D，过点C作CE⊥AB于E，易证四边形OPDB是矩形，从而有OP=BD，OB=PD；易证△ADP≌△BEC，则有AD=BE，由x_A=x_B=2可用m表示出AB，就可用m、n表示出AD即BE的长，问题得以解决．
（2）由条件可得到点A的坐标，代入反比例函数的解析式就可求出m的值．
（3）可分∠APB=60°和∠PAC=60°两种情况讨论，然后运用菱形的性质及勾股定理等知识就可解决问题．

名师点评

本题考点：

反比例函数综合题．

考点点评：

本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、矩形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数学思想，有一定的综合性．

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