二次函数y=x2-2x-c的图象如图所示，A，B两点的纵坐标分别为-4，-3，且AB=2．（1）求A，B两点的坐标及二次函数的解析式；（2）用配方法求该抛物线与x轴的两个交点坐标；（3）如果M为x轴上

Question

二次函数y=x²-2x-c  的图象如图所示，A，B两点的纵坐标分别为-4，-3，且AB=√(2)．

（1）求A，B两点的坐标及二次函数的解析式；
（2）用配方法求该抛物线与x轴的两个交点坐标；
（3）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求直线MN的函数表达式．
（4）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象，请你结合新图象回答，当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围．

Answer 1

（1）如图1中，作AE⊥OD于E，BF⊥AE于F．设A（m，m²-2m-c），

在Rt△ABF中，∵AB=√(2)，AF=1，
∴BF=√(AB2-AF2)=1，
∴B（m+1，m²-2m-c+1），
把B点坐标代入y=x²-2x-c 得到m²-2m-c+1=（m+1）²-2（m+1）-c，
解得m=1，
∴A（1，-4），B（2，-3），
把A（1，-4）代入y=x²-2x-c 得到c=3，
∴二次函数的解析式为y=x²-2x-3．

（2）对于抛物线y=x²-2x-3，令y=0，得到x²-2x-3=0，
∵x²-2x=3，
∴（x-1）²=4，
∴x-1=±2，
∴x=-1或3，
∴C（-1，0），D（3，0）．

（3）如图2中，

易知当M（1，0），N（0，-1）或M₁（-1，0），N₁（0，1）时，以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形
∴直线MN的解析式为y=x+1或y=x-1．

（4）如图4中，

当直线y=x+n过点D时，把D（3，0）代入得：3+n=0，
n=-3，
当直线y=x+n过点C时，把C（-1，0）代入得：-1+n=0，
n=1，
∴当，b的取值范围是-3<n<1，
当直线y=x+n与翻折后的抛物线y=-（x-1）²+4只有一个公共点时，

y=x+n

y=-(x-1)2+4

，消去y得到x²-x+n-3=0，
由题意△=0，可得n=(13)/(4)，
观察图象可知，n>(13)/(4)时，直线y=x+n与此图象有两个公共点，
综上所述，当-3<n<1或n>(13)/(4)时，直线y=x+n与此图象有两个公共点．