一道数学三角函数（高三）：把函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0,0＜φ＜π）的图象上每把函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0,0＜φ＜π）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,然后

Question

一道数学三角函数（高三）：把函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0,0＜φ＜π）的图象上每
把函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0,0＜φ＜π）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,然后再向左平移 π 6 个单位后得到一个最小正周期为2π的奇函数g（x）．求函数h(x)=f(x)-g²(x),x∈[-5π/24,π/4]的最值

Answer 1

一道数学三角函数（高三）：把函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0,0＜φ＜π）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,然后再向左平移 π 6 个单位后得到一个最小正周期为2π的奇函数g（x）．求函数h(x)=f(x)-g²(x),x∈[-5π/24,π/4]的最值
解析：∵把函数f(x)=2cos(ωx+φ)（ω＞0,0＜φ＜π）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变==> f(x)=2cos(ω/2x+φ)
∵再将f(x)=2cos(ω/2x+φ)向左平移π/6个单位后得到一个最小正周期为2π的奇函数g（x）
∴g(x)=2cos(ω/2(x+π/6)+φ)=2cos(ω/2x+ωπ/12+φ)=±2sinx
2cos(ω/2x+ωπ/12+φ)=2sinx==>ω/2=1==>ω=2
2cos(x+π/6+φ)=2sinx==>π/6+φ=3π/2==>φ=4π/3
∵0＜φ＜π,∴φ=4π/3不符题意
2cos(x+π/6+φ)=-2sinx==>π/6+φ=π/2==>φ=π/3
∴f(x)=2cos(2x+π/3),g(x)=-2sinx
∵h(x)=f(x)-g²(x)=2cos(2x+π/3)-4(sinx)^2=2cos(2x+π/3)+2cos2x-2=2√3cos(2x+π/6)-2
∵x∈[-5π/24,π/4]
2x+π/6=2kπ==>x=kπ-π/12,最大值点
2x+π/6=2kπ+π==>x=kπ+5π/12,最小值点
h(π/4)=2√3cos(π/2+π/6)-2=-(2+√3)
∴h(x)在区间[-5π/24,π/4]上最大值为2√3-2,最小值为h(π/4)=-(2+√3)