已知函数f（x）=alnx+bex（a，b为常数，无理数e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=1e．（1）求a，b的值；（2）证明不等式1-x-xlnx<exx+1(1+e-2)．

Question

已知函数f（x）=(alnx+b)/(ex)（a，b为常数，无理数e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=(1)/(e)．
（1）求a，b的值；
（2）证明不等式1-x-xlnx<(ex)/(x+1)(1+e-2)．

Answer 1

（1）由f(x)=(alnx+b)/(ex)得f′(x)=(a-bx-axlnx)/(xex) (x>0)．
由已知得f′(1)=(a-b)/(e)=0，解得a=b．
又f(1)=(b)/(c)=(1)/(e)，即b=1
∴a=b=1，…（4分）
（2）证明：令p（x）=1-x-xlnx，x∈（0，+∞），
∴p′（x）=-lnx-2=-（lnx-lne^-2），x∈（0，+∞）．
易得当x∈（0，e^-2）时，p′（x）>0，即p（x）单调递增；
当x∈（e^-2，+∞）时，p′（x）<0，即p（x）单调递减．
所以p（x）的最大值为p（e^-2）=1+e^-2，
故1-x-xlnx≤1+e^-2．  ①…（8分）
设q（x）=e^x-（1+x），则q′（x）=e^x-1>0（x>0），
因此，当x∈（0，+∞）时，q（x）单调递增，q（x）>q（0）=0．
故当x∈（0，+∞）时，q（x）=e^x-（1+x）>0，即(ex)/(x+1)>1．　　②…（10分）
由①②得1-x-xlnx≤1+e-2<(ex)/(x+1)(1+e-2)…（12分）