能详细的解释一下吗?limx趋近于0e^x-x^（1/x^2）取对数：原式=1/x²ln（e^x-x）=ln（e^x-x）/x²罗比达法则：上下求导.=[1/(e^x-x)]*(e^x-1)/2x=[(e^x-1)/(e^x-x)]/2x=等价无

Question

能详细的解释一下吗?
limx趋近于0 【e^x -x】^（1/x^2）
取对数：
原式=1/x² ln（e^x-x）
=【ln（e^x-x）】 /x²
罗比达法则：上下求导.
=【[1/( e^x-x) ] *(e^x-1) 】 /2x
=【[(e^x-1) /( e^x-x) ] 】 /2x
=等价无穷小代换【e^x-1 ~x】
=1/[2(e^x-x)]
=1/[2（1-0）]
=1/2
所以原式=√e
为什么结果就等于√e?

Answer 1

设原式=y
那么取对数之后就变成
lny=1/2
那么因为自然对数底是e
y=e^1/2
2分之1次方表示开平方根,3分之1次方表示立方根.
所以原式y=e^1/2=根号下e
=√e