用判别式求下列函数的值域：（1）y=（x2-x+3）÷（x2-x+1）；（2）y=8÷（x2-4x+5）．

Question

用判别式求下列函数的值域：
（1）y=（x²-x+3）÷（x²-x+1）；
（2）y=8÷（x²-4x+5）．

Answer 1

（1）∵函数y=(x2−x+3)/(x2−x+1)，定义域为R，
∴当y=1时，3=1不成立；
当y≠1时，原函数化为（y-1）x²-（y-1）x+y-3=0，
∴判别式△=（y-1）²-4（y-1）（y-3）≥0，
即（y-1）（3y-11）≤0，
解得1≤y≤(11)/(3)，但y≠1，
综上，函数y的值域是{y|1＜y≤(11)/(3)}．
（2）∵y=(8)/(x2−4x+5)，定义域为R，
∴当y=0时，不成立；
当y≠0时，原函数可化为yx²-4yx+5y-8=0，
∴判别式△=16y²-4y（5y-8）≥0，
即有y²-8y≤0，解得0≤y≤8，
但y≠0．
综上，函数y的值域是{y|0＜y≤8}．