用向量法和建立坐标系的方法2钟方法来解答证明三角形的三条高线交于一点

Question

用向量法和建立坐标系的方法2钟方法来解答
证明三角形的三条高线交于一点

Answer 1

证明1：以AB边为x轴,AB边上的高为y轴(垂足为原点)建立直角坐标系,设A(a,0),B(b,0),C(0,c),且a≠b．
BC边与AC边的高线交于点P(x,y),
(向量)BP＝(x-b,y),AP＝(x-a,y)
BC＝(-b,c),AC＝(-a,c)
∵ AC⊥BP
∴ AC·BP ＝0
∴ (-a)·(x-b)＋cy=0 ①
又 BC⊥AP ,BC·AP＝0
∴ (-b)·(x-a)＋cy=0 ②
由①,②得(a-b)x＝0,
∵ a≠b,∴ x＝0,∴ 点P在AB边上的高线上,
∴ 三角形三条高线相交于一点
证明2设ΔABC,三条高线为AD、BE、CF,AD与BE交于H,连接CF.向量HA=向量a,向量HB=向量b,向量HC=向量c.
因为AD⊥BC,BE⊥AC,
所以向量HA·向量BC=0,向量HB·向量CA=0,
即向量a·(向量c-向量b)=0,
向量b·(向量a-向量c)=0,
亦即
向量a·向量c-向量a·向量b=0