什么情况下找最大公因式,什么情况下找最小公倍式

Question

什么情况下找最大公因式,什么情况下找最小公倍式

Answer 1

最大公因式的定义 设,我们称是与的一个最大公因式,如果它满足下面两个条件：
1）,（口述：即是与的公因式）；
2）只要满足就有（口述：即与的任一公因式都是的因式）.
当与不全为零时,对每个,也是与的最大公因式.所以两个多项式的最大公因式不是唯一的.若取为的首项系数的倒数,则是与的首一最大公因式,记为.因为与的任意两个最大公因式是互相整除的,而互相整除的首一多项式相等,所以与的首一最大公因式是唯一的.
最小公倍式的定义 中的多项式称为是的最小公倍式,如果它满足:
1）,即是与的公倍式；
2）中一切满足的多项式必满足,即与的任一公倍式都是的倍式.
显然,当与有一个是零多项式时,它们的最小公倍式也是零多项式.当与全不为零时,它们的最小公倍式也不为零.我们用表示它们的首一最小公倍式.