高等代数的证明题..1.A为正定B为实对称证明A+B是正定充要是det(xA-B)=0的根全大于-12.设T1T2是n维线性空间V上的线性变换则(T1T2)的核=T2的核充要条件是(T1的核)与(T2的值域)的交际为{0}

Question

高等代数的证明题..
1.A为正定 B为实对称 证明A+B是正定充要是det(xA-B)=0的根全大于-1
2.设T1 T2是n维线性空间V上的线性变换 则(T1T2)的核=T2的核 充要条件是(T1的核)与(T2的值域)的交际为{0}

Answer 1

1、A正定,则存在非奇异阵G使得A=G^TG,于是det（xA-B)=det(xG^TG-B)=det(G^T)det(xE-G^(-T)BG^(-1))det(G),故det(xA-B)=0等价于det(xE-G^(-T)BG^(-1))=0,当特征根全大于-1时,即G^(-T)BG^(-1)的特征值全大于-1,于是E+G^(-T)BG^(-1)是正定阵,故A+B=G^T(E+G^(-T)BG^(-1))G是正定阵.反之,倒退回去即可.
2、显然有ker(T2)包含于ker(T1T2),对任意的x位于Ker(T1T2),即T1T2x=0,于是T2x属于Ker(T1),显然同时有T2x位于Im(T2).若Ker(T1)与Im(T2)交为0,则T2x=0,于是Ker(T1T2）包含于Ker(T2).反之,若Ker(T1T2)包含于Ker(T2),要证明Ker(T1)与Im(T2)交为0.设y同时位于Ker(T1)和Im(T2),即T1y=0,和存在x,使得y=T2x,于是T1T2x=T1y=0,即x位于Ker(T1T2)=Ker(T2),于是T2x=0,于是y=T2x=0.于是结论成立.