高数极限基础题用ε-N定义证明以下极限式：当q的绝对值小于1,n趋近于无穷大时,n^2乘q^n的极限为0.怎么证?

Question

高数极限基础题
用ε-N定义证明以下极限式：
当q的绝对值小于1,n趋近于无穷大时,n^2乘q^n的极限为0.
怎么证?

Answer 1

题目要求是用定义证明,所以需要用数列极限的定义去证明这个的成立.
因为|q|0,从而|q|^n=1/[(1+h)^n].
而 n 足够大的时候,有
(1+h)^n = 1 + n*h + [n*(n-1)/(2*1)]*h^2 + [n*(n-1)*(n-2)/(3*2*1)]*h^3 + [n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/(4*3*2*1)]*h^4 + ...+ h^n
我们关心n^3的式子,
(1+h)^n > [n*(n-1)*(n-2)/(3*2*1)]*h^3 > [(n-2)^3]*(h^3)/6
所以,
|q|^n = 1/[(1+h)^n] < 6*(h^3)/[(n-2)^3],
由此,得到我们要证明的
(n^2)*(|q|^n) < (n^2)*6*(h^3)/[(n-2)^3] < [(2*n-6)^3]*6*(h^3)/[(n-3)^3] = 192*(h^3)/(n-3),
任取 ε > 0,要使 |(n^2)*(|q|^n) - 0| < ε,只要 192*(h^3)/(n-3) < ε,
也就是说只要 n > 192*(h^3)/ε + 3,故可取 N = [192*(h^3)/ε + 3],其中的中括号是取192*(h^3)/ε + 3 的整数部分,
当 n > N 时,就有 |(n^2)*(|q|^n) - 0| < ε.
所以数列极限：lim(n^2)*(|q|^n)=0成立.
证明完毕.
补充说明,对于(n^m)*(|q|^n),其中m正整数.
极限都是可以用上面的方法来证明等于0的,只要把 |q|变形一下,取出其中的 n^(m+1)对应的项,整理一下,就可以证明啦.