一个高数证明题（高手进）证明：∑1/(n^2)=π/6,其中求和是从n=1到∞不好意思，应该是证明：∑1/(n^2)=(π^2)/6,其中求和是从n=1到∞。

Question

一个高数证明题（高手进）
证明：∑1/(n^2)=π/6,其中求和是从n=1到∞
不好意思，应该是
证明：∑1/(n^2)=(π^2)/6,其中求和是从n=1到∞。

Answer 1

利用傅里叶(Fourier)级数
f(x)＝x^2在[-π,π]上展开为傅里叶级数,得
x^2＝(π^2)/3＋4∑[(-1)^n×(cosnx)/n^2]（－π≤x≤π）
取值x＝π,得∑1/(n^2)＝(π^2)/6