在(x2−12x)9的展开式中，求：（1）第6项；（2）第3项的系数；（3）常数项；（4）展开式中的所有二项式的系数和与各项系数和的比．

Question

在(x2−(1)/(2x))9的展开式中，求：
（1）第6项；  
（2）第3项的系数；
（3）常数项； 
（4）展开式中的所有二项式的系数和与各项系数和的比．

Answer 1

（1）展开式的通项公式为 T_r+1=C₉^r （-1）^r x^18-2r （2x）^-r=（-1）^r2^-r•C₉^r•x^18-3r．
故第6项为 T₆=（-1）⁵2^-5•C₉⁵•x³=-(63)/(16) x³．
（2）由通项公式求出第3项的系数为（-1）²2^-2•C₉²=9．
（3）令18-3r=0，可得r=6，故常数项为 T₇=（-1）⁶2^-6•C₉⁶=(21)/(16)．
（4）展开式中的所有二项式的系数和为C₉⁰+C₉¹+C₉²+…+C₉⁹=2⁹．
令x=1可得各项系数和为((1)/(2))9，故展开式中的所有二项式的系数和与各项系数和的比 (29)/(((1)/(2))9)=2¹⁸．