用二项式定理证明：32n+2-8n-9是64的倍数（n∈N).

Question

用二项式定理证明：

3 ²ⁿ⁺² -8n-9是64的倍数（n∈N).

Answer 1

分析：①变为二项式形式；②与64联系上.

证明：3 ²ⁿ⁺² -8n-9=9 ⁿ⁺¹ -8(n+1)-1=(8+1) ⁿ⁺¹ -8(n+1)-1=8 ⁿ⁺¹ +C 8 ⁿ +C 8 ^n-1 +…+C 8 ² + + 8+

C -8(n+1)-1=8 ² (8 ^n-1 +C +18 ^n-2 +…+C ).

∵括号内每一项都是自然数，和为自然数，

∴上式是64的倍数，即3 ²ⁿ⁺² -8n-9是64的倍数.

绿色通道:利用二项式定理可以求余数和证明整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系.