求二项式定理,系数最大项公式

Question

求二项式定理,系数最大项公式

Answer 1

在数学里,二项式系数,或组合数,是定义为形如(1 + x)的二项式n次幂展开后x的系数（其中n为自然数,k为整数）,通常记为.从定义可看出二项式系数的值为整数.　　一般二项式x + y的幂可用二项式系数记为 　　.广义二项式定理把这结果推广至负数或非整数次幂,此时右式则不再是多项式,而是无穷级数.　　二项式系数对组合数学很重要,因它的意义是从n件物件中,不分先后地选取k件的方法总数,因此也叫做组合数.因此它有其他记法：两种不相容的记法和,还有Ck、nCk和C(n,k),其中C表示组合的数目,读作“n选k”.从定义出发,把n个1+x项的乘积展开,其中任意k项的x和n��k项的1相乘得出一个x,故此x的系数是从n个选取k个的方法总数.把各项的x标记可以更清楚看出：当n=4,k=2时,　　(1 + x1)(1 + x2)(1 + x3)(1 + x4) = ...+ x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 + ...,所以x的系数6等于从4项物件选取2项的方法总数.　　二项式系数的值有公式：
若 1=1
否则　　（其中n!表自然数n的阶乘）.二项式系数是帕斯卡三角形的第n+1行从左起第k+1个数,它最先由杨辉发现.　　二项式系数符合等式：　　可以由其公式证出,也可以从其在组合数学的意义推导出来.如第一式左项表示从n+1件选取k件的方法数,这些方法可分为没有选取第n+1件,即是从其余n件选取k件；和有选取第n+1件,即是从其余n件选取k��1件.而第二式则是每个从n件选取k件的方法,也可看为选取其余n��k件的方法.