刚看这题,也没算出来,已知（1+x+x^2)*(x+(1/x^3))^n的展开式中无常数项,n是正整数，且2

Question

刚看这题,也没算出来,
已知（1+x+x^2)*(x+(1/x^3))^n的展开式中无常数项,n是正整数，且2

Answer 1

左边的有x的0次,1次和2次
常数项是0次
所以(x+(1/x^3))^n不能有0次,-1次和-2次
[x+x^(-3)]^n的第k项是Cn(k-1)*x^(n-k+1)*[x^(-3)]^(k-1)
x的次数=n-k+1-3(k-1)=n-4k+4
若n-4k+4=0,k=(n+4)/4=n/4+1
k是整数,所以n是4的倍数
若n-4k+4=-1,k=(n+5)/4=(n+1)/4+1
所以n除以4余数是3
若n-4k+4=-2,k=(n+6)/4=(n+2)/4+1
所以n除以4余数是2
不能等于
所以只能n除以4余数是1
2