刚才那个式子,用的是立方差公式,

Question

刚才那个式子,用的是立方差公式,

Answer 1

先令：
a=(x^3-5x^2+1)^(1/3)
b=x=(x^3)^(1/3)
x→∞
lim (x^3-5x^2+1)^(1/3)-x
=lim a-b
=lim (a-b)*(a^2+ab+b^2)/(a^2+ab+b^2)
=lim (a^3-b^3)/(a^2+ab+b^2)
=lim (-5x^2+1) / [(x^3-5x^2+1)^(2/3)+(x^3-5x^2+1)^(1/3)*(x^3)^(1/3)+(x^3)^(2/3)]
注意到,分子的最高次数为2次,分母最高次数也是2次
因此,分子分母同时除以x^2
=lim (-5+1/x^2) / [(x^3-5x^2+1)^(2/3)+(x^3-5x^2+1)^(1/3)*(x^3)^(1/3)+(x^3)^(2/3)]/x^2
因为,lim 1/x^2=1；lim a^2/x^2=1；lim ab/x^2=1；lim b^2/x^2=1
故,原极限
=(-5+0)/(1+1+1)
=-5/3
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