已知整数a，b满足：a-b是素数，且ab是完全平方数．当a≥2012时，求a的最小值．

Question

已知整数a，b满足：a-b是素数，且ab是完全平方数．当a≥2012时，求a的最小值．

Answer 1

设a-b=m（m是素数），ab=n²（n是正整数）．
∵（a+b）²-4ab=（a-b）²，
∴（2a-m）²-4n²=m²，
即：（2a-m+2n）（2a-m-2n）=m²．
∵2a-m+2n与2a-m-2n都是正整数，且2a-m+2n＞2a-m-2n （m为素数），
∴2a-m+2n=m²，2a-m-2n=1，
解得：a=((m+1)2)/(4)，n=(m2−1)/(4)，
∴b=a-m=((m−1)2)/(4)，
∵a≥2012，
∴((m+1)2)/(4)≥2012，
∵m是素数，
解得：m≥89，
此时，a≥((89+1)2)/(4)=2025，
当a=2025时，m=89，b=1936，n=1980．
∴a的最小值为2025．