n是自然数,并且1+n+n^2+n^3+n^4是一个完全平方数,所有这样的n的和多少?

Question

n是自然数,并且1+n+n^2+n^3+n^4是一个完全平方数,所有这样的n的和多少?

Answer 1

很显然1+n+n^2+n^3+n^4若是一个完全平方数,则这个数必然是在
n^2+n/2到n^2+n/2+1之间,这个是可以验证的.于是,n只能为奇数;
如果n为偶数的话,则n^2+n/2到n^2+n/2+1之间没有自然数.
讨论进行到此,我们就可以确定:1+n+n^2+n^3+n^4若是一个数的完全平方,
则这个数必然是n^2+(n+1)/2.从而有:
1+n+n^2+n^3+n^4={n^2+(n+1)/2}^2={(n+1)/2}^2+n^2+n^3+n^4
化简得:{(n+1)/2}^2=1+n,1+n=4,n=3.
这样的n只有一个3.所有这样的n的和自然也就是3.