请证明11…122…25是完全平方数.1997个1,1998个2.

Question

请证明11…122…25是完全平方数.1997个1,1998个2.

Answer 1

用数学归纳法
证明11…122…25是完全平方数
（第一个省略号有n-1个数,第二个有n个数）
1.n=1 1112225=3335*3335
n=2 1111222225=33335*33335
2.设11.122.25=3.5的平方=a^2 (一共是n+2个3,包括第一个3)
现在证明 111.1222.25=3.5的平方=b^2 (省略号表示n+2个3)
(111.1222.25)-(11.122.25)=110.0100.00(第一个省略号有n-1个0 第二个有n个0)
b^2=(3*10^n+3 + a) ^2= 9*10^(2n+6) + a^2 + 6a*10^n+3 b^2-a^2=9*10^(2n+6) + 6a*10^n+3=110.0100.00
(计算注意0的个数,6a=200...10)
所以命题得证,n=11……122……25是完全平方数,等于3.35的平方(省略号为n个3)
所以当n=1998时11…122…25是完全平方数得证!