请用0到9十个不同的数字组成一个能被11整除的最大和最小十位数之差为．

Question

请用0到9十个不同的数字组成一个能被11整除的最大和最小十位数之差为______．

Answer 1

我们都知道，能被11整除的数的特征是：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数．
（包括0）设组成的数的奇数位上的数字之和为x，偶数位上的数字之和为y．
则，x+y=0+1+2+…+9=45，x-y或y-x=0，11，22 （最大绝对值不会超过22），
由x+y=45是奇数，根据数的奇偶性可知x-y也是奇数，
所以x-y=11或-11．
解方程 x+y=45，x-y=11或-11 得x=28或17，y=17或28．
为排出最大的十位数，前几位尽量选用9，8，7，6 所以应取x=28，y=17．
这时，奇数位上另三位数字之和为：28-（9+7）=12，偶数位上另三位数字之和为：17-（8+6）=3，
所以，偶数位上的另三个数字只能是2，1，0；
从而奇数位上的另三个数字为5，4，3． 由此得到最大的十位数是9876524130．
设所求最小数是102abcdefg，根据被11整除的数的性质，
有：（各位数字之和）-（1+2+b+d+f）×2 能被11整除或者等于0，
∴39-（b+d+f）×2 能被11整除或者等于0，∵b、d、f只能从3、4、5、6、7、8、9中取值，
∴-9≤39-（b+d+f）×2≤15，
∴39-（b+d+f）×2=11或者0，当39-（b+d+f）×2=0时，无解．
当39-（b+d+f）×2=11时，b+d+f=14，可见，b、d、f的组合是3、4、7或者3、5、6，
①当b、d、f的组合是3、4、7时，对应的a、c、e、g的组合是5、6、8、9，从此得出的最小数是1025364879；
②当b、d、f的组合是3、5、6时，对应的a、c、e、g的组合是4、7、8、9，从此得出的最小数是1024375869．
∴最大和最小十位数之差为：9876524130-1024375869=8852148261．
故答案为：8852148261．