为什么弦切角等于弦所对的圆周角?

Question

为什么弦切角等于弦所对的圆周角?

Answer 1

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. 　弦切角定理证明：
证明一：设圆心为O,连接OC,OB,.
∵∠TCB=90°-∠OCB
∵∠BOC=180°-2∠OCB
∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）
∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍）
∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）
证明已知：AC是⊙O的弦,AB是⊙O的切线,A为切点,弧是弦切角∠BAC所夹的弧.
求证：（弦切角定理）
证明：分三种情况：


 
 
（1）　圆心O在∠BAC的一边AC上
∵AC为直径,AB切⊙O于A,
∴弧CmA=弧CA
∵为半圆,
∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角 


 
 
 
  B点应在A点左侧
（2）　圆心O在∠BAC的内部.
过A作直径AD交⊙O于D,
若在优弧m所对的劣弧上有一点E 
那么,连接EC、ED、EA
则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB
∴ ∠CEA=∠CAB
∴ （弦切角定理）


 

 
 
（3）　圆心O在∠BAC的外部,
过A作直径AD交⊙O于D
那么 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90°
∴∠CDA=∠CAB
∴（弦切角定理）