求过点(2,1)的直线与抛物线y^2=4x相交所的弦的中点轨迹方程

Question

求过点(2,1)的直线与抛物线y^2=4x相交所的弦的中点轨迹方程

Answer 1

设直线为x=k(y-1)+2=ky-k+2
代入抛物线：y²=4ky-4k+8
y²-4ky+4k-8=0
y1+y2=2k
设弦的端点坐标为(ky1-k+2,y1),(ky2-k+2,y2)
设中点坐标为(x,y)
则有：
y=(y1+y2)/2=2k ①
x=k(y1+y2)/2-k+2=2k²-k+2 ②
①式化为：k=y/2
代入②式：x=y²/2-y/2+2
即2x=y²-y+4
这就是中点的轨迹方程.