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求证实数³√3是无理数
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求证实数³√3是无理数
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答案和解析
用反证法, 假设³√3是有理数, 设³√3 = p/q, 其中p, q为正整数, 且p, q互质.
有3q³ = p³.
由q³是整数, 有3 | p³, 故3 | p.
可设p = 3r, 其中r是正整数.
代入得q³ = 9r³.
由r³是整数, 有3 | q³, 故3 | q.
于是p, q有公因子3, 与p, q互质矛盾.
因此³√3是无理数.
有3q³ = p³.
由q³是整数, 有3 | p³, 故3 | p.
可设p = 3r, 其中r是正整数.
代入得q³ = 9r³.
由r³是整数, 有3 | q³, 故3 | q.
于是p, q有公因子3, 与p, q互质矛盾.
因此³√3是无理数.
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